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您好,感谢您刚才的回答,再请教您一道椭圆题目(位于第16题),谢谢!

时间:2022-11-25 03:16:03

16.过焦点在x轴上的椭圆C的左焦点F做一条斜率为k的直线,交椭圆于A、B两点。过F作FC⊥x轴交椭圆于C,连接F和椭圆的下顶点D。

若|AF|•|BF|=|CF|•|DF|•(k^2),求(k^2)•e的最大值。(e为椭圆的离心率)


^2就是平方,•就是乘,希望有做题过程,谢谢!

最佳答案

简述:

设AB与x轴正方向夹角为θ,则k=tanθ

由椭圆极坐标方程r=ep/(1-ecosα),知:

|AF|*|BF|=e(1+cosθ)=e²cos²θ)

令α=π/2,则有|CF|=ep, 易知|DF|=a

∴e²p²/(1-e²cos²θ)=ep*a*tan²θ

b²/(a²=(1-cos²θ)/cos²θ

c²(cos²θ)²-2a²cos²θ+a²

cos²θ=(a²-ab)/c², sin²θ=1-cos²θ=(ab-b²)/c², k²=tan²θ=b/a

∴k²·e=b/)<=bc/(2bc)=1/2

所以k²·e的最大值为1/2,当b=c时取得

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